杨健教授

数学学士、运筹学与经济控制论硕士、

管理科学/运筹学博士(英国兰卡斯特大学)

中国人民大学公共管理定量分析研究所

公共管理学院MPA核心课程首席教授

国家自然科学基金管理科学评审专家

英国运筹学JORS国际顾问委员会理事

    经济订货批量(EOQ),即Economic Order Quantity是固定订货批量模型的一种，可以用来确定企业一次订货(外购或自制)的数量。
    
    二、原始之美:经典EOQ模型

　　经典的EOQ 问题比较简单,其基本内容是:在商品流通或生产制造的过程中,如果在计划期内,对一类物品的需求率保持不变,管理者应当如何确定订货/ 生产的时间和数量? 在研究EOQ公式变迁的过程中,我们发现了一个殊途同归的奇怪现象,即四类著名的物流管理策略在市场需求不变的条件下,具有和谐的、统一的数学结构。

　　一般来说,基本参数包括:计划期H ,即更新决策问题的时间范围,通常EOQ 的假设是一年;在时间t 时刻的需求率D ( t ) ,在计划期H 内可以是恒定的常数,也可以是时间的函数;初置成本A是指企业启动生产制造的主要成本,如锅炉预热、生产组织、集装箱运输或订货等费用;单位时间单位物品的存储成本I 蕴涵着与产品的物理属性有关的直接成本和内部结算。

　　决策变量比较复杂,对于经典的EOQ 问题,订货—生产的更新次数n 相当于决策变量,而对于时变需求, n 相当于一个环境变量;第j 次更新时点kj 是决策变量;当kj 已经确定时, 第j 次与第j + 1 次更新的时间间隔Tj 与kj + 1是等价的决策变量,即

　　第j 次更新数量RQj 的表述如下:

　　第j 次更新成本RCj ,则可以表述为:

　　不失一般性, EOQ 公式的基本假设如下:需求有连续、稳定和已知的速度;前置时间已知且固定;货物补足的作业周期是固定的;货值是固定的,与订货数量和时间无关;仅考虑库存持有成本I 以及每次订货成本A ;库存的各品种间无相互影响;无在途货物; 没有资金的约束。我们注意到,经典的EOQ 问题隐含假设计划期H 是无穷大的,这意味着约束条件kj + 1 = kj + Tj < H 对决策变量Tj 的约束并不成立。因此,单期更新决策与多期更新决策是完全等价的。单期更新决策模型有以下四种:

　　(1) 美国人Ford W. Harris 于1913 年首先发明了经济生产量EPQ 模型( Economic Production Quantity) ,目的是为了决定生产数量与合理地控制库存。通过平衡订货成本与库存成本, Harris利用一元二次方程求根获得了EOQ 公式。我们在更新决策单元内,建立以初置成本( setup cost )与运营成本(carrying cost ) 的平衡为目标函数的Harris 模型:

　　(2)几乎同时, EOQ 公式亦由R. H. Wilson不谋而合地发现了,并被作为库存管理方案的一部分出售给了许多公司,因此人们又称之为Wilson 公式。与Harris 的初衷不同,Wilson 公式试图给出最小化单位时间总成本的最佳订货量。我们在更新决策单元内,建立以在单位时间内更新成本最小为目标函数的Wilson 模型:

　　(3) 今天,在流行的经济管理教科书中都陈列着与当年一模一样的经济订货量EOQ 公式或经济批量模型ELS( Economic Lot Size) ,但是,其决策理念却与以往大不相同,其推导过程是以优化单位物品成本为目标,在无限的计划期的假设下,通过更加现代的微分技巧求出无约束的极值点EOQ。我们在更新决策单元内,建立以物品总量的单位平均更新成本最小为目标函数的CLUC(Continuous Least Unit Cost) 模型:

　　(4) 令人困惑的是,人们似乎有意地遗忘了开山鼻祖,有人直接根据需求恒定的假设,推知订货数量、更新时间间隔亦为常数。通过直接确定最佳的更新次数,使相当长的计划期内的总成本最小,同样也可以推导出EOQ 公式。虽然在严格意义上整数不能作为求导变量,但是仍然可以作为一种解决问题的途径,正所谓异曲同工! 在相当长的计划期H 内,我们建立以总成本最小为目标的更新次数模型:

　　不难证明,上述四类更新决策模型虽然各异,但是其最优决策变量T*j 却完全相同,即

　　究竟是什么原因导致了不和谐的管理决策理念,却在数学模型上殊途同归呢? 经过考证,我们发现, EOQ 世界之所以和谐的原因,依旧是几乎被人们遗忘的固定需求率假设:无论市场环境如何变迁,无论岁月如何流逝,产品的需求量却是永恒不变的。